高二文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式知識(shí)點(diǎn)歸納

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)考試中常常會(huì)遇到，同學(xué)們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的時(shí)候要記住相關(guān)的公式。下面我給大家?guī)?lái)高二文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式知識(shí)點(diǎn)，希望對(duì)你有幫助。

高二文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式

1.①

②

③

2. 原函數(shù)與反函數(shù)導(dǎo)數(shù)關(guān)系(由三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)推反三角函數(shù)的)：y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y)，則有y'=1/x'.

3. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)--稱為鏈?zhǔn)椒▌t。

4. 變現(xiàn)積分的求導(dǎo)法則：

(a(x),b(x)為子函數(shù))

導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

計(jì)算已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可以按照導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)用變化比值的極限來(lái)計(jì)算。在實(shí)際計(jì)算中，大部分常見的解析函數(shù)都可以看作是一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的和、差、積、商或相互復(fù)合的結(jié)果。只要知道了這些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，那么根據(jù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，就可以推算出較為復(fù)雜的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

高二文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則

求導(dǎo)法則

由基本函數(shù)的和、差、積、商或相互復(fù)合構(gòu)成的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)則可以通過(guò)函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)推導(dǎo)?；镜那髮?dǎo)法則如下：

求導(dǎo)的線性性：對(duì)函數(shù)的線性組合求導(dǎo)，等于先對(duì)其中每個(gè)部分求導(dǎo)后再取線性組合。

兩個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)函數(shù)，一導(dǎo)乘二+一乘二導(dǎo)。

兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)函數(shù)也是一個(gè)分式。(子導(dǎo)乘母-子乘母導(dǎo))除以母平方

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

如果有復(fù)合函數(shù)，那么若要求某個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，可以先運(yùn)用以上 方法 求出這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再看導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的值。

高二文科數(shù)學(xué)高階求導(dǎo)

高階導(dǎo)數(shù)的求法

1.直接法：由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)。

一般用來(lái)尋找解題方法。

2.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：

(二項(xiàng)式定理)

3.間接法：利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式，通過(guò)四則運(yùn)算，變量代換等方法。

注意：代換后函數(shù)要便于求，盡量靠攏已知公式求出階導(dǎo)數(shù)。

求導(dǎo)方法

鏈導(dǎo)法

四則法

反導(dǎo)法

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

口訣

為了便于記憶，有人整理出了以下口訣：

常為零，冪降次

對(duì)倒數(shù)(e為底時(shí)直接倒數(shù)，a為底時(shí)乘以1/lna)

指不變(特別的，自然對(duì)數(shù)的指數(shù)函數(shù)完全不變，一般的指數(shù)函數(shù)須乘以lna)

正變余，余變正

切割方(切函數(shù)是相應(yīng)割函數(shù)(切函數(shù)的倒數(shù))的平方)

高二導(dǎo)數(shù)教案

導(dǎo)數(shù)（Derivative）是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)或df(x0)/dx。下面是我為您整理的關(guān)于高二導(dǎo)數(shù)教案的相關(guān)資料，歡迎閱讀！

高二導(dǎo)數(shù)教案 例1

教學(xué)準(zhǔn)備

1. 教學(xué)目標(biāo)

(1)理解平均變化率的概念.

(2)了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率、的概念.

(3)理解導(dǎo)數(shù)的概念

(4)會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變化率.

2. 教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念及導(dǎo)數(shù)概念的形成和理解

教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)

3. 教學(xué)用具

多媒體、板書

4. 標(biāo)簽

教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)情景、引入課題

【師】十七世紀(jì)，在歐洲資本主義發(fā)展初期，由于工場(chǎng)的手工業(yè)向機(jī)器生產(chǎn)過(guò)渡，提高了生產(chǎn)力，促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，其中突出的成就就是數(shù)學(xué)研究中取得了豐碩的成果―――微積分的產(chǎn)生。

【板演/PPT】

【師】人們發(fā)現(xiàn)在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t(單位：秒)存在函數(shù)關(guān)系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?

【板演/PPT】

讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不急于下結(jié)論，而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生：欲知結(jié)論怎樣，讓我們一起來(lái)觀察、研探。

【設(shè)計(jì)意圖】自然進(jìn)入課題內(nèi)容。

二、新知探究

[1]變化率問題

【合作探究】

探究1 氣球膨脹率

【師】很多人都吹過(guò)氣球，回憶一下吹氣球的過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?

氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是

如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么

【板演/PPT】

【活動(dòng)】

【分析】

當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為(1)當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為

0.620.16

可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.

【思考】當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?

解析：

探究2 高臺(tái)跳水

【師】在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t(單位：秒)存在函數(shù)關(guān)系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?

(請(qǐng)計(jì)算)

【板演/PPT】

【生】學(xué)生舉手回答

【活動(dòng)】學(xué)生覺得問題有價(jià)值，具有挑戰(zhàn)性，迫切想知道解決問題的方法。

【師】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

【設(shè)計(jì)意圖】?jī)蓚€(gè)問題由易到難，讓學(xué)生一步一個(gè)臺(tái)階。為引入變化率的概念以及加深對(duì)變化率概念的理解服務(wù)。

探究3 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在

這段時(shí)間里的平均速度,并思考下面的問題:

(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?

(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎?

【板演/PPT】

【生】學(xué)生舉手回答

【師】在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

【活動(dòng)】師生共同歸納出結(jié)論

平均變化率:

上述兩個(gè)問題中的函數(shù)關(guān)系用y=f(x)表示，那么問題中的變化率可用式子

我們把這個(gè)式子稱為函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率.

習(xí)慣上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)

這里Δx看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量”可用x1+Δx代替x2

同樣Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均變化率可以表示為：

【幾何意義】觀察函數(shù)f(x)的圖象，平均變化率的幾何意義是什么?

探究2 當(dāng)Δt趨近于0時(shí),平均速度有什么變化趨勢(shì)?

從2s到(2+△t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度

當(dāng)△ t 趨近于0時(shí), 即無(wú)論 t 從小于2的一邊, 還是從大于2的一邊趨近于2時(shí), 平均速度都趨近與一個(gè)確定的值 –13.1.

從物理的角度看, 時(shí)間間隔 |△t |無(wú)限變小時(shí), 平均速度就無(wú)限趨近于 t = 2時(shí)的瞬時(shí)速度. 因此, 運(yùn)動(dòng)員在 t = 2 時(shí)的瞬時(shí)速度是 –13.1 m/s.

為了表述方便，我們用xx表示“當(dāng)t =2, △t趨近于0時(shí), 平均速度 趨近于確定值– 13.1”.

【瞬時(shí)速度】

我們用

表示 “當(dāng)t=2, Δt趨近于0時(shí),平均速度趨于確定值-13.1”.

局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。那么,運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻 的瞬時(shí)速度?

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)由平均速度到瞬時(shí)速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t=2秒時(shí)的瞬時(shí)速度。

探究3:

(1).運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻 t0 的瞬時(shí)速度怎樣表示?

(2).函數(shù)f(x)在 x = x0處的瞬時(shí)變化率怎樣表示?

導(dǎo)數(shù)的概念:

一般地，函數(shù) y = f (x)在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率是

稱為函數(shù) y = f(x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記作

或,

【總結(jié)提升】

由導(dǎo)數(shù)的定義可知, 求函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法:

[3]例題講解

例題1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱. 如果第 x h時(shí), 原油的溫度(單位: )為 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 計(jì)算第2h與第6h時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率, 并說(shuō)明它們的意義.

解: 在第2h和第6h時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率就是

在第2h和第6h時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為–3和5. 它說(shuō)明在第2h附近, 原油溫度大約以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油溫度大約以5 /h的速率上升.

高二導(dǎo)數(shù)教案 例2

【學(xué)習(xí)要求】

1.能根據(jù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x2，y=1x的導(dǎo)數(shù).

2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【學(xué)法指導(dǎo)】

1.利用導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo)簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公 式，類推 一般多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，體會(huì)由特殊到一般的思想.通過(guò)定義求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程，培 養(yǎng)歸納、探求規(guī)律的能力，提高學(xué)習(xí)興趣.

2.本節(jié)公式是下面幾節(jié)課的`基礎(chǔ)，記準(zhǔn)公式是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵.記公式時(shí)，要注意觀察公式之間的聯(lián)系，如公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.公式5與公式7中l(wèi)n a的位置的不同等.

1.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)

f(x)=c f ′(x)=

f(x)=x f′(x)=

f(x)=x2 f′(x)=

f(x)=1x

f′(x)=

f(x)=x

f′(x)=

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)

f(x)=c f′(x)=

f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=

f(x)=sin x f′(x)=

f(x)=cos x f′(x)=

f(x)=ax f′(x)= (a0)

f(x)=ex f′ (x)=

f(x)=logax

f′(x)= (a0且a≠1)

f(x)=ln x f′(x)=

探究點(diǎn)一 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

問題1 怎樣 利用定義求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)?

問題2 利用 定義求下列常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=c (2)y=x (3)y=x2 (4)y=1x (5)y=x

問題3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率.物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.(1)函數(shù)y =f(x)=c(常數(shù))的導(dǎo)數(shù)的物理意義是什么?

(2)函數(shù)y=f(x)=x的導(dǎo)數(shù)的物理意義呢?

問題4 畫出函數(shù)y=1x的圖象.根據(jù)圖象，描述它的變化情況，并求出曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程.

探究點(diǎn)二 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

問題1 利用導(dǎo)數(shù)的定義可以求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，但運(yùn)算比較繁雜，有些函數(shù)式子在中學(xué)階段無(wú)法變形，怎樣解決這個(gè)問題?

問題2 你能發(fā)現(xiàn)8個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式之間的聯(lián)系嗎?

例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=sinπ3;(2)y=5x;(3)y=1x3;(4)y=4x3; (5)y =log3x.

跟蹤1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=x8;(2)y=(12)x;(3)y=xx;(4)y=

例2 判斷下列計(jì)算是否正確.

求y=cos x在x=π3處的導(dǎo)數(shù)，過(guò)程如下：y′| = ′=-sin π3=-32.

跟蹤2 求函數(shù)f(x)=13x在x=1處的導(dǎo)數(shù).

探究點(diǎn)三 導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用

例3 已知直線x-2y-4=0與拋物線 y2=x相交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，試在拋物線的弧 上求一點(diǎn)P，使△ABP的面積最大.

跟蹤3 點(diǎn)P是曲線y=ex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y=x的最小距離.

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.給出下列結(jié)論：①若y=1x3，則y′=-3x4;②若y=3x，則y′=133x;

③若y=1x2，則y′=-2x-3;④若f(x)=3x，則f′(1)=3.其中正確的個(gè)數(shù)是 ( ?)

A.1 B.2 C.3 D.4

2.函數(shù)f(x)=x，則f′(3)等于 ( ?)

A.36 B.0 C.12x D.32

3.設(shè)正弦曲線y=sin x上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是 ( ?)

A.[0，π4]∪[3π4，π) B.[0，π) C.[π4，3π4] D.[0，π4]∪[π2，3π4]

4.曲線y=ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________.

高二數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單 幾種形式推導(dǎo)

導(dǎo)數(shù)定義：

?'(x) = lim(Δx→0) [?(x + Δx) - ?(x)]/Δx

則?'(x?) = lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?)]/Δx，其中Δx可以是負(fù)數(shù)，或者一個(gè)式子，總之要趨向0

對(duì)于①：

lim(Δx→0) [?(x?) - ?(x? - 2Δx)]/(2Δx)

= lim(Δx→0) - [?(x? - 2Δx) - ?(x?)]/(2Δx)

= lim(Δx→0) [?(x? - 2Δx) - ?(x?)]/(- 2Δx)，若令Δu = - 2Δx

= lim(Δu→0) [?(x? + Δu) - ?(x?)]/Δu

= ?'(x?)

對(duì)于②：

lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x? - Δx)]/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?) - ?(x? - Δx) + ?(x?)]/Δx

= lim(Δx→0) {[?(x? + Δx) - ?(x?)] - [?(x? - Δx) - ?(x?)]}/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?)]/Δx - lim(Δx→0) [?(x? - Δx) - ?(x?)]/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?)]/Δx + lim(- Δx→0) [?(x? - Δx) - ?(x?)]/(- Δx)

= ?'(x?) + ?'(x?)

= 2?'(x?)

對(duì)于③：

lim(Δx→0) [?(x? + 2Δx) - ?(x? + Δx)]/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + 2Δx) - ?(x?) - ?(x? + Δx) + ?(x?)]/Δx

= lim(Δx→0) {[?(x? + 2Δx) - ?(x?)] - [?(x? + Δx) - ?(x?)]}/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + 2Δx) - ?(x?)]/Δx - lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?)]/Δx

= 2lim(Δx→0) [?(x? + 2Δx) - ?(x?)]/(2Δx) - lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?)]/Δx

= 2?'(x?) - ?'(x?)

= ?'(x?)

對(duì)于④：

lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x? - 2Δx)]/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?) - ?(x? - 2Δx) + ?(x?)]/Δx

= lim(Δx→0) {[?(x? + Δx) - ?(x?)] - [?(x? - 2Δx) - ?(x?)]}/Δx

= lim(Δx→0) [?(x? + Δx) - ?(x?)]/Δx - lim(Δx→0) [?(x? - 2Δx) - ?(x?)]/(- 2Δx) ? (- 2)

= ?'(x?) + 2?'(x?)

= 3?'(x?)

只有①③正確。